Matematyka jest…


…wielkim małym światem w którym wszelakie jej pojęcia dobrze się znają.  Enigmatyczne stwierdzenie lecz nie pozbawione sensu…

Wiele razy wspominałam na blogu, że matematyka jest swego rodzaju monolitem z tego względu, że cała mnogość działów mieszczących się w niej zazębia się dość mocno. Nie jest też zadziwiające to, że z metod matematycznych korzysta cała masa innych dziedzin nauki, w tym statystyka i demografia (w obu tych dziedzinach matematyka zajmuje zaszczytne miejsce). Dziś pozostanę przy wzajemnym przenikaniu sfer wewnątrzmatematycznych. Będzie to mieszanina topologii (jej metod) z innymi zakamarkami matematyki.

Przechodząc już do rzeczy, metody topologiczne stosuje się w wielu rozważaniach matematycznych, począwszy od analizy, przez geometrię, równania różniczkowe, aż na algebrze skończywszy, gdyż dostarcza ona matematykom wspólnego języka umożliwiającego dość ogólne spojrzenie geometryczne na problemy.

Przykładem rozumowania topologicznego może być dowód twierdzenia o istnieniu funkcji ciągłej rzeczywistej, określonej na prostej rzeczywistej \mathbb {R} , która nie jest różniczkowalna w żadnym punkcie. Pierwszy, konkretny przykład takiej funkcji podał niemiecki matematyk Karl Weierstrass. Poszukiwanie kolejnych tego typu przykładów nastręczało wiele trudności, zastanawiano się nad ogólną formą i liczbą takich funkcji. Polski matematyk Stefan Banach przedstawił w 1931 topologiczny dowód istnienia takich funkcji:

Niech C[0,1] oznacza przestrzeń wszystkich funkcji ciągłych z odcinka [0,1] w zbiór liczb rzeczywistych. Przestrzeń C[0,1] można wyposażyć w topologię zbieżności jednostajnej poprzez metrykę

d(f, g) = \sup_{x \in [0,1]} |f(x)-g(x)|.

Wówczas C[0,1] jest przestrzenią polską (a nawet przestrzenią Banacha) w której zbiór

R=\big \{f\in C[0,1]\colon\, f ma pochodną w co najmniej jednym punkcie odcinka [0,1]{\big \))

jest pierwszej kategorii. Ponieważ przestrzeń C[0,1] jest zupełna (a więc jest przestrzenią Baire’a), to można powiedzieć, że z topologicznego punktu widzenia prawie każda funkcja ciągła nie jest różniczkowalna w żadnym punkcie.

Interesującym jest fakt, że dowód ten wykazuje istnienie funkcji nieróżniczkowalnych w żadnym punkcie, jednak nie wskazuje konkretnego przykładu takiej funkcji.

Pewien paradoks w badaniach statystycznych


Dziś – bez zbędnych wstępów, których nie chce mi się pisać bom leniwa  – przechodzę do rzeczy. A rzecz tyczy się pewnej iluzji z którą związek ma intuicja i „pierwsze wrażenie”.

Paradoks Berksona jest wynikiem intuicyjne pojmowanego prawdopodobieństwa i statystyki. Wyobraźmy sobie, że mamy dwa niezależne zdarzenia A i B. Z definicji niezależności, prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia A biorąc pod uwagę zajście zdarzenia  B jest takie samo jak prawdopodobieństwo zdarzenia A:
P (A | B) = P (A).
tj. wiedząc, że zdarzenie B miało miejsce ale nie daje nam to żadnych informacji na temat prawdopodobieństwa wystąpienia zdarzenia A.

Paradoks Berksona może być wykorzystany do wyjaśnienia stereotyp, że najbardziej przystojni mężczyźni są szarpnięcia i to najmilsi ludzie są brzydkie, zaproponowany przez Jordan Ellenberg w swojej książce How Not to Be Wrong.

Załóżmy na chwilę, że wygląd i uprzejmośćzmiennymi niezależnymi w populacji mężczyzn tak, że mężczyźni są losowo rozmieszczone na wykresie „wygląd-uprzejmość”

Handsome -przystojny
Nice – miły

Tak więc każdy mężczyzna jest punktem w tej płaszczyźnie. Każda kobieta chce na umówić się na randkę z  mężczyzną w prawym górnym rogu tego wykresu: czyli z człowiekiem, który jest jednocześnie przystojny i miły. Jednakże, jeśli facet jest draniem czasem, ona może wciąż chcieć umówić się z nim na randkę, jeśli on jest bardzo przystojny. Ponadto, jeśli facet jest bardzo miły, ona może wciąż może chcieć umówić się z nim na randkę jeśli nawet mężczyzna ma „braki” w kategoriiwygląd”.

Analizując zachowanie kobiety – wielu z najlepszych wyglądających facetów z którymi umówiłaby się ta kobieta na randkę nie jest aż tak miłych; wielu z najmilszych facetów,z którymi kobieta umówiłaby się na randkę nie mają aż tak pięknego wyglądu zewnętrznego. Ograniczając się do tego zestawu facetów, widzimy ujemną korelację pomiędzy wyglądem i uprzejmością, choć te dwie zmienne są niezależne w populacji! Jest to  paradoks Berksona, a teraz widać, że tak utworzona korelacja wynika ze stronniczego wyboru.
Możemy pójść o krok dalej: może faceci w samym prawym górnym rogu (czerwone punkty) tak miły i przystojny, że kobieta, którą „analizujemy” nie weźmie go pod uwagę jako kandydata na randkę, na rzecz tego który jest po prostu miły i przyzwoicie wyglądający.
 Wynika stąd wniosek, że możemy zobaczyć fałszywą korelację między zmiennymi w wyniku działania swego rodzaju selekcji zwanej „stronniczością”. Musimy dokładnie przemyśleć, czy nasze doświadczenia i strategie gromadzenia danych i wybór próbki danej populacji dadzą możliwość generowania wniosków na całą populację.

Paradoksem Berksona pochodzi od Joseph Berksona, który zwrócił uwagę na zjawisko „stronniczości” wyboru w badaniach z grupą kontrolną w celu identyfikacji czynników przyczynowych w odniesieniu do ryzyka wystąpienia danej  choroby. Jeżeli grupa kontrolna pochodzi z wewnątrz szpitala, ujemną korelację mogłyby powstać między choroby i czynniki ryzyka z powodu różnych dawek  w trakcie hospitalizacji między próbką kontrolną wszystkimi przypadkami.

Więcej na ten temat można przeczytać tu: Berkson, Joseph (June 1946). „Limitations of the Application of Fourfold Table Analysis to Hospital Data”. Biometrics Bulletin 2 (3): 47–53


Kolos na glinianych nogach


Dzisiejszy wpis będzie kontynuacją opisu ciekawych tworów matematycznych nierzadko niesprawiedliwie nazywanych patologiami. Wspomnę o wielkim twierdzeniu Fermata, które dziś nie jest jedynie odosobnioną ciekawostką, lecz tkwi w samym sercu nowoczesnej teorii liczb, choć wielu wybitnych matematyków unikało twierdzenia Fermata.  Podobno David Hilbert, zapytany, czemu nigdy się nim nie zajmował, stwierdził, że musiałby stracić trzy lata na opanowanie tego wszystkiego, co mogłoby być potrzebne, a on nie ma trzech lat do stracenia. Twierdzenie to poniekąd związane jest ze specyficznym rodzajem krzywych. O co konkretnie chodzi? W 1986 roku Gerhard Frey wykazał, że gdyby istniał kontrprzykład do twierdzenia Fermata, musiałaby istnieć pewna krzywa eliptyczna o szczególnych i niespotykanych własnościach. Krzywe eliptyczne to wykresy równania

y^2=x^3+ax^2+bx+c

Krzywe te mają wiele interesujących własności: można je wyrazić za pomocą tzw. funkcji eliptycznych (stąd nazwa), każda sieczna przecina je dokładnie w trzech punktach, co pozwala każdej parze punktów przyporządkować trzeci (można wprowadzić strukturę grupy). Krzywa Freya jest o tyle specyficzna, że o ile ona istnieje, to – pomijając brzydką nazwę „patologia” – możnaby ją nazwać bardzo dziwnym zwierzem, tak dziwnym, że aż nieprawdopodobnym. Co więcej w późniejszych dociekaniach związanych z tą krzywą sprawa zapętla się o hipotezę Taniyamy i twierdzeniem Wilesa. Kenneth Ribet  dowiódł, że jeśli hipoteza Taniyamy jest prawdziwa, to pociąga ona za sobą wielkie twierdzenie Fermata a krzywa Freya nie może istnieć. Jeśli zastosujemy do tej krzywej twierdzenie Wilesa okaże się spełnia ona tezę tego twierdzenia, z której wynika, że można ją sparametryzować przy użyciu funkcji modularnych. Z kolei Frey jednak udowodnił, że nie można.To kolos na glinianych nogach!!!

 

 

Matematyka jak nurt wody


Matematyka jest jak nurt wody […]. Zawiera oczywiście mnóstwo skomplikowanych teorii, ale logiczne zasady są proste. Tak samo jak woda spada z wysoka najkrótszym możliwym torem, matematyka płynie tylko jednym nurtem. Wystarczy, że się człowiek uważnie przyjrzy, a dostrzeże ten tor. Trzeba tylko dobrze się przyjrzeć. Nic nie musisz robić. Kiedy się skupisz i wytężysz wzrok, wszystko samo jasno ci się ukaże. Na tym szerokim świecie tylko matematyka jest dla mnie taka życzliwa.

Haruki Murakami

To mi nasuwa na myśl pewne spostrzeżenie. Otóż wielu uczniów chcąc przebrnąć przez matematykę w dość łatwy i nie wymagający wysiłku sposób uczy się jej jakby „na pamięć”. To paradoks, bo słowo „wysiłek” bardziej pasowałoby do ruchów łopatą przy skopywaniu działki, lub w chwili gdy kopie się transzeje. Matematyka „płynie” – wystarczy przyjrzeć się jej nurtowi. Wiele problemów w matematyce wymaga nieschematycznego pomyślunku co odrzuca uczenie się matematyki na pamięć. Sam tok rozumowania jest ważny by „dostrzec ten tor”. Jako przykład przytoczę pewne zadanie. W rozwiązaniu nie stosuje się skomplikowanych przekształceń i rachunków, wystarczy zaobserwować pewien „nurt”.

Zadanie brzmi:

Niech f:[0,1]–>R będzie funkcją ciągłą nigdzie monotoniczną. Pokazać, że zbiór argumentów, dla których f osiąga minimum lokalne, jest gęsty w [0,1]

Tok rozumowania:

Niech (a,b) będzie dowolnym przedziałem otwartym zawartym w [o,1]. Funkcja f nie jest monotoniczna na żadnym przedziale, więc istnieją a<p<q<r<b takie, że f(p)>f(q) i f(q)<f(r). Funkcja f jest też ciągła, więc przyjmuje najmniejszą wartość na przedziale [p,r]. Nie przyjmuje jej ani w p, ani w r, więc przyjmuje ją dla argumentu wewnątrz przedziału [p,r]. Ta wartość jest minimum lokalnym. Skoro w dowolnym przedziale otwartym zawartym w [0,1] istnieje argument, dla którego f osiąga minimum lokalne, to zbiór takich argumentów jest gęsty w [0,1].

Komnata tajemnic, dziwności i „potworów”


Matematyka sama w sobie jest bardzo ciekawa i nie obca jest w niej odmienność, którą niekiedy można by nazwać nawet patologią. Matematyka jest pełna ciemnych zakamarków, z których wyzierają potwory. Jest pełna tworów widzialnych i niewidzialnych. Istniejące w matematyce obiekty czasem przypominają komnatę tajemnic z sagi o Harrym Potterze, w której widać dziki łuk Artina-Foxa, naszyjnik Antoine’a (można go sobie wyobrazić następująco: zaczynamy od torusa i umieszczamy wewnątrz niego torusy „zazębiające się” jak ogniwa (skończonego) łańcucha. W każdym z tych torusów umieszczamy torusy „zazębiające się” jak ogniwa (skończonego) łańcucha itd. Naszyjnik Antoine’a to część wspólna tych wszystkich torusów), jeziora Wady (krzywa, będąca wspólnym brzegiem trzech obszarów na płaszczyźnie), sferę rogata Aleksandra ( obiekt ten jest homeomorficzny ze zwykłą sferą dwuwymiarową oraz dzieli całą przestrzeń trójwymiarową na dwa obszary, przy czym obszar wewnątrz sfery rogatej jest homeomorficzny z wnętrzem
zwykłej sfery, ale obszar na zewnątrz sfery rogatej nie jest homeomorficzny z obszarem na zewnątrz zwykłej sfery), sferę Besicovitcha (dowolnie mała powierzchnia ograniczająca dowolnie dużą objętosć), kulę jednostkowa o nieskończonej mierze, sfery egzotyczne, róg Gabriela (nieskończona powierzchnia ograniczająca skończoną objętość), … nawet teorię mnogości traktowano kiedyś jako swoistego rodzaju „dziwadło”, jako „paradygmat, który zniknie, gdy wymrą jego przedstawiciele” (Awodey). „Pochylenie się” jednak nad ową skarbnicą pełną dziwadeł, odmienności lub nawet patologii jest niezbędne. Istotną rolę odgrywały i zapewne będą odkrywać obiekty początkowo traktowane jako fikcyjne, których uznania wymaga jednak rozwój matematyki, bądź obiekty specjalnie konstruowane, po dużo ważne. W wielu przypadkach okazuje się, że standard i normalność stanowią mniejszość a dziwność, odmienność i patologia są większością.

 

 

 

Patologie w matematyce?


Tytuł dość przewrotny i nie mający na celu zniechęcać Czytelnika do królowej nauk. Zanim przejdę do rzeczy podam przykład. Wyobraźmy sobie mapę dowolnego kraju. Czy ten kraj na mapie (na płaszczyźnie w atlasie) będzie przypominał jakąś figurę geometryczną? Czy będzie przypominał którąś z figur, które wszyscy znamy choćby ze szkoły podstawowej?  Odpowiedź jest jednoznaczna. Gdyby nawet zmienić skalę mapy i ukazać obszar danego kraju w powiększeniu, kształt zmieniłby się nieco tylko dlatego, że zwiększyłaby się dokładność mapy ukazując więcej „szczerb” i nieregularności w kształcie kraju na mapie. Taka mapa byłaby bardziej dokładna. To tak jak lekarz dokonujący obrazowanie metodą rezonansu magnetycznego musi w celach wykrycia nawet malutkiej zmiany nowotworowej tak ustawić przyrząd aby wychwycić wszelkie nierówności i twory o nieregularnym kształcie. Faktem jest, że różne kraje mają różne kształty (zależne od ustalonych granic i linii brzegowych), podobnie jak reszta przyrody, tak jak to określił Benoit Mandelbrot:”Obłoki nie są sferami, góry nie są stożkami, linie brzegowe nie są okręgami i ani kora nie jest gładka, ani błyskawica nie biegnie po prostej”.  Ogromna mnogość kształtów występujących w przyrodzie ze względu na zachowanie przy zmianie skali przypomina fraktale. Matematycy potrafili skonstruować przestrzenie o dowolnej całkowitej liczbie wymiarów, które (mimo, że żyjemy w świecie trójwymiarowym) można sobie wyobrazić. Lecz samo istnienie takich tworów, które w rzeczywistości pozbawione są gładkości (budując modele matematyczne zakłada się czasem, że są gładkie, po to by można było stosować rachunek różniczkowy do ich badania) spowodowało, że znaleziono sensowny sposób przypisywania wymiaru  fraktalom prowadzący do wartości ułamkowych. Kontynuacją tego było wprowadzenie pewnych nowatorskich tworów geometrycznych przedstawiających po dużo „nieregularne” krzywe oraz powierzchnie. Prostym przykładem jest  funkcja Weierstrassa, której wykres nie ma nigdzie przerw, ale jest tak nieregularny, że w  żadnym punkcie nie ma stycznej. To nie jedyny przykład takiej krzywej, są jeszcze inne chociaż ciągłe, ale nigdzie nieróżniczkowalne funkcje. Płatek śniegu Kocha jestciągły, ale nigdzie nie ma stycznej. Innym „patologicznym” przypadkiem jest zbiór Cantora, uzyskiwany z odcinka, z którego większość bezczelnie wyrzucono.  Zdolność matematyki do tworzenia tego rodzaju „obrzydliwości” jest nieograniczona. Zdolność ta nie jest jednak kierowana zadufaniem w sobie, lecz królowa nauk robi wielki ukłon w stronę rzeczywistości, która jest po dużo nieregularna i postrzępiona. W trakcie pisania tekstu zmieniłam nieco temat. Kropkę zamieniłam w znak zapytania.

Matematycy w demografii


Ośmielam się stwierdzić, że demografia jest nauką ścisłą. Matematyka pozwala w ścisły sposób sprecyzować wiele praw rządzących procesami demograficznymi. Chciałabym zwrócić uwagę na kilku znanych matematyków, którzy mieli duży wkład w demografii. Przywołując danego matematyka postaram się określić czego dotyczył jego „wynalazek”. A zatem od początku (choć naprawdę początek ciężko znaleźć gdyż matematyka z demografią splatają się jakby w kłębek wełny, ci którzy robią na drutach lub szydełkują wiedzą jaki jest kłopot ze znalezieniem początku wełenki) Podstawową miarą pozwalającą na określenie względnej nadwyżki urodzeń chłopców jest iloraz urodzeń dzieci płci męskiej i żeńskiej w przeliczeniu na 100 czy 1000 urodzeń dziewcząt, czyli współczynnik maskulinizacji noworodków. Używany jest on powszechnie od drugiej połowy XVIII w., a za jego pomysłodawcę uważa się wybitnego francuskiego matematyka P. E. Laplace’a. Jest on również inicjatorem obliczania powszechnie stosowanych współczynników demograficznych. Jest on też twórcą pierwszych tablic zawierania małżeństw. Wspominałam już kilkanaście tematów temu o astronomie Halley’u, który po dużo przysłużył się demografii. Prace podjęte przez Halley’a kontynuował J. A. Euler, który opracował matematyczne podstawy tablic trwania życia. Dzięki informacjom na temat struktury ludności według wieku dostępnych we współczesnych spisach ludności stało się dopiero wraz ze schyłkiem XIX wieku możliwe stosowanie nowocześniejszych metod kalkulacji przeciętnego dalszego trwania życia. Następcą Halley’a był także szwajcarski matematyk, bratanek Jakubai Johanna Bernoullich- Nicolaus. I nie bez kozery korespondował z Eulerem i Leibnizem. W demografii swój udział miał także matematyk Benjamin Gompertz, który w 1824 roku sformułował teoretyczny model umieralności w populacji na potrzeby nauk aktuarialnych. Benjamin Gompertz na przykład postawił hipotezę, że wiek graniczny nie istnieje a współczynnik umieralności jest funkcją wykładniczą. Znanym w demografii matematykiem był też William Matthews Makeham. Spod jego pióra wyszły dwa istotne w demografii dzieła „On the Law of Mortality and the Construction of Annuity Tables” oraz „On an Application of the Theory of the Composition of Decremental Forces”. Duet Makeham-Gompertz  sformuwał model w którym Warto zauważyć, że w pewnym szczególnym przypadku gdy jeden z czynników występujących w modelu równy jest 1, to współczynnik umieralności byłby stały (niezależny od wieku). Oznaczałoby to, że człowiek niezależnie od wieku ma przed sobą takie same perspektywy odnośnie długości dalszego trwania życia. Innymi słowy w takiej populacji nikt się nie starzeje, długość życia ma rozkład wykładniczy, a umieralność można wtedy porównać do procesu rozpadu promieniotwórczego. Do gry wówczas wszedł kolejny matematyka Ernst Weibull, który zaproponował użycie funkcji wielomianowej w miejsce wykładniczej. Jedną z wielu koncepcji umieralności sformułował kolejny znakomity matematyk Abraham de Moivre. W swoich rozważaniach użył rozkładu jednostajnego. Nazwiskami możnaby szastaj jeszcze długo. Sama demografia stworzona jest na użytek innych dziedzin, chociażby ważną rolę odgrywa w ubezpieczeniach i podejściu aktuarialnym a  tu z kolei do głosu dochodzi rachunek prawdopodobieństwa, który stanowi tylko część tego co z matematyki „wyciąga” demografia. Nazwiska matematyków będą się w niej jeszcze pojawiać i to w dużej liczbie.