Matematyka jak nurt wody


Matematyka jest jak nurt wody […]. Zawiera oczywiście mnóstwo skomplikowanych teorii, ale logiczne zasady są proste. Tak samo jak woda spada z wysoka najkrótszym możliwym torem, matematyka płynie tylko jednym nurtem. Wystarczy, że się człowiek uważnie przyjrzy, a dostrzeże ten tor. Trzeba tylko dobrze się przyjrzeć. Nic nie musisz robić. Kiedy się skupisz i wytężysz wzrok, wszystko samo jasno ci się ukaże. Na tym szerokim świecie tylko matematyka jest dla mnie taka życzliwa.

Haruki Murakami

To mi nasuwa na myśl pewne spostrzeżenie. Otóż wielu uczniów chcąc przebrnąć przez matematykę w dość łatwy i nie wymagający wysiłku sposób uczy się jej jakby „na pamięć”. To paradoks, bo słowo „wysiłek” bardziej pasowałoby do ruchów łopatą przy skopywaniu działki, lub w chwili gdy kopie się transzeje. Matematyka „płynie” – wystarczy przyjrzeć się jej nurtowi. Wiele problemów w matematyce wymaga nieschematycznego pomyślunku co odrzuca uczenie się matematyki na pamięć. Sam tok rozumowania jest ważny by „dostrzec ten tor”. Jako przykład przytoczę pewne zadanie. W rozwiązaniu nie stosuje się skomplikowanych przekształceń i rachunków, wystarczy zaobserwować pewien „nurt”.

Zadanie brzmi:

Niech f:[0,1]–>R będzie funkcją ciągłą nigdzie monotoniczną. Pokazać, że zbiór argumentów, dla których f osiąga minimum lokalne, jest gęsty w [0,1]

Tok rozumowania:

Niech (a,b) będzie dowolnym przedziałem otwartym zawartym w [o,1]. Funkcja f nie jest monotoniczna na żadnym przedziale, więc istnieją a<p<q<r<b takie, że f(p)>f(q) i f(q)<f(r). Funkcja f jest też ciągła, więc przyjmuje najmniejszą wartość na przedziale [p,r]. Nie przyjmuje jej ani w p, ani w r, więc przyjmuje ją dla argumentu wewnątrz przedziału [p,r]. Ta wartość jest minimum lokalnym. Skoro w dowolnym przedziale otwartym zawartym w [0,1] istnieje argument, dla którego f osiąga minimum lokalne, to zbiór takich argumentów jest gęsty w [0,1].

Komnata tajemnic, dziwności i „potworów”


Matematyka sama w sobie jest bardzo ciekawa i nie obca jest w niej odmienność, którą niekiedy można by nazwać nawet patologią. Matematyka jest pełna ciemnych zakamarków, z których wyzierają potwory. Jest pełna tworów widzialnych i niewidzialnych. Istniejące w matematyce obiekty czasem przypominają komnatę tajemnic z sagi o Harrym Potterze, w której widać dziki łuk Artina-Foxa, naszyjnik Antoine’a (można go sobie wyobrazić następująco: zaczynamy od torusa i umieszczamy wewnątrz niego torusy „zazębiające się” jak ogniwa (skończonego) łańcucha. W każdym z tych torusów umieszczamy torusy „zazębiające się” jak ogniwa (skończonego) łańcucha itd. Naszyjnik Antoine’a to część wspólna tych wszystkich torusów), jeziora Wady (krzywa, będąca wspólnym brzegiem trzech obszarów na płaszczyźnie), sferę rogata Aleksandra ( obiekt ten jest homeomorficzny ze zwykłą sferą dwuwymiarową oraz dzieli całą przestrzeń trójwymiarową na dwa obszary, przy czym obszar wewnątrz sfery rogatej jest homeomorficzny z wnętrzem
zwykłej sfery, ale obszar na zewnątrz sfery rogatej nie jest homeomorficzny z obszarem na zewnątrz zwykłej sfery), sferę Besicovitcha (dowolnie mała powierzchnia ograniczająca dowolnie dużą objętosć), kulę jednostkowa o nieskończonej mierze, sfery egzotyczne, róg Gabriela (nieskończona powierzchnia ograniczająca skończoną objętość), … nawet teorię mnogości traktowano kiedyś jako swoistego rodzaju „dziwadło”, jako „paradygmat, który zniknie, gdy wymrą jego przedstawiciele” (Awodey). „Pochylenie się” jednak nad ową skarbnicą pełną dziwadeł, odmienności lub nawet patologii jest niezbędne. Istotną rolę odgrywały i zapewne będą odkrywać obiekty początkowo traktowane jako fikcyjne, których uznania wymaga jednak rozwój matematyki, bądź obiekty specjalnie konstruowane, po dużo ważne. W wielu przypadkach okazuje się, że standard i normalność stanowią mniejszość a dziwność, odmienność i patologia są większością.

 

 

 

Patologie w matematyce?


Tytuł dość przewrotny i nie mający na celu zniechęcać Czytelnika do królowej nauk. Zanim przejdę do rzeczy podam przykład. Wyobraźmy sobie mapę dowolnego kraju. Czy ten kraj na mapie (na płaszczyźnie w atlasie) będzie przypominał jakąś figurę geometryczną? Czy będzie przypominał którąś z figur, które wszyscy znamy choćby ze szkoły podstawowej?  Odpowiedź jest jednoznaczna. Gdyby nawet zmienić skalę mapy i ukazać obszar danego kraju w powiększeniu, kształt zmieniłby się nieco tylko dlatego, że zwiększyłaby się dokładność mapy ukazując więcej „szczerb” i nieregularności w kształcie kraju na mapie. Taka mapa byłaby bardziej dokładna. To tak jak lekarz dokonujący obrazowanie metodą rezonansu magnetycznego musi w celach wykrycia nawet malutkiej zmiany nowotworowej tak ustawić przyrząd aby wychwycić wszelkie nierówności i twory o nieregularnym kształcie. Faktem jest, że różne kraje mają różne kształty (zależne od ustalonych granic i linii brzegowych), podobnie jak reszta przyrody, tak jak to określił Benoit Mandelbrot:”Obłoki nie są sferami, góry nie są stożkami, linie brzegowe nie są okręgami i ani kora nie jest gładka, ani błyskawica nie biegnie po prostej”.  Ogromna mnogość kształtów występujących w przyrodzie ze względu na zachowanie przy zmianie skali przypomina fraktale. Matematycy potrafili skonstruować przestrzenie o dowolnej całkowitej liczbie wymiarów, które (mimo, że żyjemy w świecie trójwymiarowym) można sobie wyobrazić. Lecz samo istnienie takich tworów, które w rzeczywistości pozbawione są gładkości (budując modele matematyczne zakłada się czasem, że są gładkie, po to by można było stosować rachunek różniczkowy do ich badania) spowodowało, że znaleziono sensowny sposób przypisywania wymiaru  fraktalom prowadzący do wartości ułamkowych. Kontynuacją tego było wprowadzenie pewnych nowatorskich tworów geometrycznych przedstawiających po dużo „nieregularne” krzywe oraz powierzchnie. Prostym przykładem jest  funkcja Weierstrassa, której wykres nie ma nigdzie przerw, ale jest tak nieregularny, że w  żadnym punkcie nie ma stycznej. To nie jedyny przykład takiej krzywej, są jeszcze inne chociaż ciągłe, ale nigdzie nieróżniczkowalne funkcje. Płatek śniegu Kocha jestciągły, ale nigdzie nie ma stycznej. Innym „patologicznym” przypadkiem jest zbiór Cantora, uzyskiwany z odcinka, z którego większość bezczelnie wyrzucono.  Zdolność matematyki do tworzenia tego rodzaju „obrzydliwości” jest nieograniczona. Zdolność ta nie jest jednak kierowana zadufaniem w sobie, lecz królowa nauk robi wielki ukłon w stronę rzeczywistości, która jest po dużo nieregularna i postrzępiona. W trakcie pisania tekstu zmieniłam nieco temat. Kropkę zamieniłam w znak zapytania.

Matematycy w demografii


Ośmielam się stwierdzić, że demografia jest nauką ścisłą. Matematyka pozwala w ścisły sposób sprecyzować wiele praw rządzących procesami demograficznymi. Chciałabym zwrócić uwagę na kilku znanych matematyków, którzy mieli duży wkład w demografii. Przywołując danego matematyka postaram się określić czego dotyczył jego „wynalazek”. A zatem od początku (choć naprawdę początek ciężko znaleźć gdyż matematyka z demografią splatają się jakby w kłębek wełny, ci którzy robią na drutach lub szydełkują wiedzą jaki jest kłopot ze znalezieniem początku wełenki) Podstawową miarą pozwalającą na określenie względnej nadwyżki urodzeń chłopców jest iloraz urodzeń dzieci płci męskiej i żeńskiej w przeliczeniu na 100 czy 1000 urodzeń dziewcząt, czyli współczynnik maskulinizacji noworodków. Używany jest on powszechnie od drugiej połowy XVIII w., a za jego pomysłodawcę uważa się wybitnego francuskiego matematyka P. E. Laplace’a. Jest on również inicjatorem obliczania powszechnie stosowanych współczynników demograficznych. Jest on też twórcą pierwszych tablic zawierania małżeństw. Wspominałam już kilkanaście tematów temu o astronomie Halley’u, który po dużo przysłużył się demografii. Prace podjęte przez Halley’a kontynuował J. A. Euler, który opracował matematyczne podstawy tablic trwania życia. Dzięki informacjom na temat struktury ludności według wieku dostępnych we współczesnych spisach ludności stało się dopiero wraz ze schyłkiem XIX wieku możliwe stosowanie nowocześniejszych metod kalkulacji przeciętnego dalszego trwania życia. Następcą Halley’a był także szwajcarski matematyk, bratanek Jakubai Johanna Bernoullich- Nicolaus. I nie bez kozery korespondował z Eulerem i Leibnizem. W demografii swój udział miał także matematyk Benjamin Gompertz, który w 1824 roku sformułował teoretyczny model umieralności w populacji na potrzeby nauk aktuarialnych. Benjamin Gompertz na przykład postawił hipotezę, że wiek graniczny nie istnieje a współczynnik umieralności jest funkcją wykładniczą. Znanym w demografii matematykiem był też William Matthews Makeham. Spod jego pióra wyszły dwa istotne w demografii dzieła „On the Law of Mortality and the Construction of Annuity Tables” oraz „On an Application of the Theory of the Composition of Decremental Forces”. Duet Makeham-Gompertz  sformuwał model w którym Warto zauważyć, że w pewnym szczególnym przypadku gdy jeden z czynników występujących w modelu równy jest 1, to współczynnik umieralności byłby stały (niezależny od wieku). Oznaczałoby to, że człowiek niezależnie od wieku ma przed sobą takie same perspektywy odnośnie długości dalszego trwania życia. Innymi słowy w takiej populacji nikt się nie starzeje, długość życia ma rozkład wykładniczy, a umieralność można wtedy porównać do procesu rozpadu promieniotwórczego. Do gry wówczas wszedł kolejny matematyka Ernst Weibull, który zaproponował użycie funkcji wielomianowej w miejsce wykładniczej. Jedną z wielu koncepcji umieralności sformułował kolejny znakomity matematyk Abraham de Moivre. W swoich rozważaniach użył rozkładu jednostajnego. Nazwiskami możnaby szastaj jeszcze długo. Sama demografia stworzona jest na użytek innych dziedzin, chociażby ważną rolę odgrywa w ubezpieczeniach i podejściu aktuarialnym a  tu z kolei do głosu dochodzi rachunek prawdopodobieństwa, który stanowi tylko część tego co z matematyki „wyciąga” demografia. Nazwiska matematyków będą się w niej jeszcze pojawiać i to w dużej liczbie.

Nieskończone, zespolone miasto moloch.


Często, by zinterpretować geometrycznie coś co należy do poddziedziny matematyki jaką jest analiza z pomocą przychodzi topologia. Podział na poddziedziny wydaje mi czasem sztuczny ale… do rzeczy. Recz dotyczy postrzegania funkcji zespolonej i ciut „nietuzinkowej” interpretacji nieskończoności.  Ciekawym sposobem postrzegania funkcji zespolonej f jest interpretacja jej jako sposobu mapowania jednej płaszczyzny zespolonej na inną. Podstawowy wzór takiej funkcji, w=f(z), mówi nam, że należy wziąć liczbę zespoloną z, podziałać na nią f-em i wyznaczyć inną, związaną z nią liczbę zespoloną w. Z geometrycznego punktu widzenia z należy do jednej płaszczyzny zespolonej, a w jest częścią płaszczyzny zespolonej będącej praktycznie drugą, niezależną kopią pierwszej. Jednak funkcje zespolone miewają  czasem interesujące  punkty, w których grzeczne jej zachowanie staje się… nie takie grzeczne jak zdawać by się mogło. Dlatego też jeśli chodzi o nieskończoność nie musi ona być traktowana jako liczba tylko charakterystyką opisującą pewien proces (liczbowy). Tu przywołam dorobek znanego matematyka Riemanna, który doszedł do wniosku, że warto włączyć nieskończoność do liczb zespolonych i znalazł niecodzienny sposób  geometryczny, by to osiągnąć. Pomysł polega na umieszczeniu na płaszczyźnie zespolonej jednostkowej sfery. . Dalej – związujemy punkt płaszczyzny z punktami sfery za pomocą rzutu stereograficznego – oznacza to połączenie punktu na płaszczyźnie z biegunem północnym sfery (tu rodzi się pytanie – gdzie taka prosta przetnie sferę?). Konstrukcja taka nosi nazwę sfery Riemanna  i wspaniale sprawdza się w standardowych obliczeniach analizy zespolonej. Temat jest swoistym zwróceniem uwagi na przenikanie różnych z pozoru zakątków matematyki. Jeden zakątek łączy się z innym (jeden dla drugiego stanowi punkt odniesienia) – co czyni matematykę miastem molochem, w którym nie można się zgubić.

Ciut chemii i fizyki …


Matematyka – jak na prawdziwą kobietę przystało, damę – potrafi zaskakiwać nawet tego, który ją bardzo dobrze zna. Nie należę do znawców owej zacnej kobiety więc zaskakuje mnie ona tym bardziej. Zaskakujące jest to w ilu dziedzina wiedzy – nawet tych opartych po dużo na doświadczeniu – ma ona zastosowanie i dobrze, że wtyka swój nos wszędzie, wścibskość jest tu szczególne wskazana. Matematyka chętnie łączy się na przykład z chemią. Chemia nie jest moją mocną stroną więc musiałam sporo wcześniej poczytać, by znaleźć i krótko opisać choć jedno z jej połączeń z matematyką. Temat stanowi jedynie zwrócenie uwagi na pewien aspekt łączący budowę związku chemicznego z topologią. Już w szkołach średnich wprowadza się pojęcia fotonów i grawitorów (niemniej musiałam sporo czasu poświęcić by sobie przypomnieć o czym mowa). Dodając do tego fizyczną „stronę medalu” grawitory są to kule i kulki o zróżnicowanym promieniu wyznaczanym przez wektory prędkości. Fizyka pokazuje w sposób sformalizowany w postaci wzorów, których sobie oszczędzę, na działanie cząstek fotonowych – grawitorów. Cząstki fotonowe są kulami przestrzennymi, podobnie jak same fotony – podstawowy składnik eteru czyli substancji wypełniającej przestrzeń. Jeśli nawet te cząstki wypełniałyby przestrzeń, czy istnieje jakiś inny rodzaj przestrzeni pomiędzy nimi? W dowolnym punkcie na kuli występuje krzywizna zerowa. Ta lokalna (punktowa) krzywizna jest zerowa. Natomiast ponadlokalna krzywizna całej powierzchni kuli jest dodatnia. Kolejne pytanie matematyczno-fizyczne to czy najprostszym ruchem obiektu punktowego poruszającego się w przestrzeni z jednej kuli do drugiej jest ruch po linii prostej? Jaki ruch ma miejsce w przestrzeni poza powierzchnią kuli i od czego to zależy? zbudowanie modeli geometrycznych – symulujących sytuację myślę, że dałoby odpowiedź na pytania. Kolejne naturalnie pojawiające się pytanie: Jeśli takie cząstki wypełniałyby przestrzeń, czy istnieje jakiś inny rodzaj przestrzeni pomiędzy nimi? Zdawać by się mogło, że pomiędzy kulkami może występować przestrzeń o krzywiźnie ujemnej i/lub dodatniej. Sięgnijmy do wyobraźni przedstawiając w niej zastałą sytuację. Na przykład powierzchnia siodła jest przykładem powierzchni o krzywiźnie zwanej ujemną. Hiperboloida również. Czyli przestrzeń w pewnych obszarach pomiędzy kulkami jest przestrzenią o krzywiźnie ujemnej. A co się dzieje, gdy w takiej przestrzeni będą pojawiały się zaburzenia? Na następnym rysunku oddalamy od siebie kule. I gdy kule zostają od siebie odsunięte, w środku pojawia się nowe odkształcenie przestrzenne – o dodatniej krzywiźnie. Gdy oddalamy od siebie kule, struktura przestrzeni pomiędzy kulami zaczyna zmieniać swoją krzywiznę. W ten sposób w „materiale” przestrzeni mogą zachodzić pewne fizyczne procesy lokalnych zmian kształtu w ponadlokalnym układzie. Obiekty zanurzone w przestrzeni mają swą powierzchniową krzywiznę dodatnią, a przestrzeń wokół obiektów ma obszary zróżnicowane, o zmiennej lokalnej krzywiźnie. Na tym moja wiedza niestety się kończy. Myślę, że temat ciekawy i można by deliberować o nim znacznie dłużej i po dużo więcej.

Słowem słowo słowu nierówne


Matematyka podobnie jak inne nauki takie jak na przykład psychologia, socjologia, jest kobietą. Mówi się TA matematyka, z Tą matematyką, o kim? o niej, o matematyce. Nie ma na świecie takiej kobiety jak matematyka, bezwzględnej, wiernej, pięknej, tajemniczej, władczej, a zarazem słodkiej, prostej, logicznej i przewidywalnej i przynoszącą tę euforię… ciężką do opisania osobom, które jej nie spróbowali. Dziś ciut o jej języku. Czy, jak na kobietę przystało, używa ona „po dużo” języka naszpikowanego emocjami? Na ile jej język jest użyteczny w życiu codziennym? Niektórzy pewnie powiedzą, że cechą charakterystyczną matematyki, tak jak każdej innej kobiety (przynajmniej tej przeżywającej akurat „trudne dni”) jest fakt, iż trudno i ciężko jest ją zrozumieć. Podobno są tylko dwa sposoby, żeby zrozumieć kobietę: pierwszy nie działa a drugi nie istnieje. Dałabym sobie mały paluszek uciąć, że istnieją ludzie, którzy to samo powiedzą o matematyce (ze względu na jej trudny do zrozumienia język).

Zacznijmy od tego, że matematyka jest językiem w takim samym sensie jak jest językiem angielski lub japoński, czy francuski, w takim samym sensie jak to, że równoległobok jest czworokątem. Tak jak większość współczesnych języków matematyka ma postać ustną i pisemną i może być zarówno traktowana formalnie, jak i nieformalnie. Tak jak dla wszystkich języków służy przede wszystkim do komunikowania i porozumiewania się. Tak jak wszystkie języki, nie tylko opisuje pojęcia, ale pomaga je formować i wykształcać w umysłach jej użytkowników. Tak jak wszystkie języki, matematyka ma swoje charakterystyczne cechy. Matematyka jest podobna do języka dlatego, że po prostu jest językiem, takim jak każdy inny język. I w tym momencie można by skończyć opowiastkę podsumowując tak jak to jest robione w bajkach: „…i żyli długo i szczęśliwie”.  Zdania wypowiadane w świecie matematyki mają nieco inny charakter niż zdania „potoczne”, choć wydaje mi się, że charakter zdań matematycznych powinien zawierać się w tych „potocznych”. W logice zdaniem nazywamy każde zdanie oznajmujące, któremu można przypisać jedną z dwóch ocen: zdanie jest prawdziwe lub zdanie jest fałszywe. Zgodnie z powyższym określeniem w sensie logicznym nie są zdaniami zdania pytające i rozkazujące oraz te zdania oznajmujące, o których nie można orzec, czy są prawdziwe, czy fałszywe (tzw. zdanie wartościujące). Moje zdanie powiązane jest „po dużo” z użytecznością języka również w tym potocznym rozumieniu i cel, którym jest omijanie nieporozumień. Przykładem jest zasada Dienesa, która mówi, że jeżeli chcemy osiągnąć pewien stopień ogólności danego tematu zarówno w teorii, jak i w posługiwaniu się pojęciami tego tematycznego kręgu, to od tego wybranego stopnia ogólności trzeba zaczynać. Zasad jest więcej ale w potocznej mowie nierzadko nie zwraca się (nie przywiązuje się) na nie uwagi.  Jak też widać z definicji nie każde zdanie jest zdaniem w sensie logicznym. Do takowych należą zdania wartościujące (zdania logiczne mogą mieć określoną wartość lecz świadczy to jedynie o ich prawdziwości). Zdania wartościujące są to akty konkretnych jednostek i, jak wszelkie działania ludzkie, stanowią możliwy przedmiot badania naukowego. Historycy, psychologowie i socjologowie mogą analizować je i wyjaśniać przyczynowo, a takie historyczne czy psychologiczne zdania dotyczące aktów wartościowania i wypowiedzi wartościujących stanowią całkowicie sensowne zdania naukowe. Lecz zdania wartościujące są tu tylko przedmiotem badania, nie zaś twierdzeniami samych tych teorii i, tak jak gdzie indziej, są pozbawione sensu teoretycznego. Dlatego też wyłączamy je z królestwa matematyki. Można „nagiąć” w pewnym sensie język matematyki do wartościowania lecz należy pewne rzeczy uściślić i zdefiniować, a stany rzeczy, o których się wyrażamy muszą być mierzalne. Tak dzieje się na przykład w przypadku zmiennych typu jakościowego w statystyce, choć owo „nagięcie” nie zawsze jest możliwe. W związku z owym „naginaniem” możliwe są liczne nieporozumienia powodujące paradoksy. Jednym ze znanych paradoków jest paradoks łysego. Przesłanka wyjściowa jest taka: biorąc pod uwagę dwie osoby, z których jedna nie jest łysa, a druga ma zaledwie o jeden włos mniej, możemy przyjąć, że również druga osoba nie jest łysa (różnica jednego włosa wydaje się minimalna). Weźmy pod uwagę większą liczbę osób. Założymy, że pierwsza z nich ma na głowie 100 000 włosów, a każda następna ma o jeden włos mniej – różnica w liczbie włosów między dwiema następującymi po sobie osobami zawsze wynosi dokładnie jeden włos. Jeśli ustawimy w szeregu 100 001 osób, to ostatnia z nich (zgodnie z powyższym założeniem) nie ma na głowie ani jednego włosa. Mimo to, nie możemy nazwać jej „łysą”, ponieważ zgodnie z przesłanką wyjściową jeśli poprzednik jest niełysy, a następująca po nim osoba ma o jeden włos mniej, to i ona nie jest łysa. Wniosek: Człowiek bez włosów nie jest łysy. W języku potocznym określenie „łysy” jest nieostre, nie musi oznaczać jedynie człowieka zupełnie pozbawionego włosów. Paradoks powstaje więc, gdy do pojęcia z języka potocznego zastosujemy definicję rekurencyjną (indukcyjną). Znany jest też dowcip barmański. Facet pyta barmana: „Ile kosztuje kropla piwa?” barman odpowiada, że nic nie kosztuje. Trunkowy odpowiada: „to proszę mi nakapać cały kufel”.