Dziwni mieszkańcy…


W poprzednim odcinku tutaj (klik, klik). Pan (już nie) młody wybrawszy się w podróż do domu zastanawiał się dlaczego krawcy muszą robić zaszewki, a kulistych lampionów nie można zrobić z jednego kawałka papieru… aż nagle potknął się o theorema egregium leżącą ot tak sobie jak cegła… nagle wszystko stało się jasne. Droga do domu nie była prosta, jedynie spotykane co pewien czas stacje pozwalały mu na zidentyfikowanie swojego położenia. Stacje ustawione były parami. Jedna para stacji generuje rodzinę hiperbol o tych samych ogniskach – właśnie w ogniskach znajdują się pozycje stacji nadawczych. Pan (już nie) młody wiedział, że w praktyce jedna ze stacji pierwszej pary może być wykorzystywana zarazem jako stacja w drugiej parze, zatem niezbędne są co najmniej trzy stacje. Przebiegł po krzywej, która jest jednocześnie sferyczną elipsą, hiperbolą i parabolą. Nie było to dla niego zaskoczeniem gdyż już miał do czynienia z taką krzywą, widział jak jego żona miesza nią szpinak w ogromnym baniaku. Długo tak wędrując zauważył, że do tej pory zakładał bezzasadnie, że ma do czynienia ze zwyczajnymi, to jest płaskimi hiperbolami, że wszystko dzieje się na płaszczyźnie…jakże wielkie zdziwienie malowało się na jego twarzy gdy natrafił na koczowisko stworzeń rogatych i skrzydlatych. Przetarł oczy ze zdumienia, bo widział przed sobą całkiem inny świat, w miarę jak dochodził do brzegu  koczowiska, który okazał się być dyskiem rogate jakby diabły stawały się się diabełkami, skrzydlate jakby anioły stają się aniołkami, wszystko się zagęszczało, zagęszczało wręcz nieskończenie tak, że stworzenia na horyzoncie urwały się – jakby spadały – w pewnej odległości od brzegu. Pan (już nie) młody zauważył, że wśród nich istnieją dwie grupy stworzeń na świecie: ci, którzy wierzą, że świat można podzielić na dwie grupy stworzeń, i ci, którzy tego nie robią. Przerażony czekał na orzeczenie, do której grupy zaliczą go dziwni mieszkańcy…

Wyobraźnia w akcji…


Dziś wpis powiązany z wczorajszym. Wczoraj pisałam o ogromnej roli wyobraźni i fantazji w matematyce. To sprawia także, że możemy znaleźć miejsce (więc nie tylko zrozumieć) danemu pojęciu w ogromnej masie pojęć matematycznych, możemy je ze sobą powiązać w logiczny sposób  tworząc obraz matematycznego świata. Dziś wspomnę o dość zaskakującym fakcie – połączeniu dwóch niebanalnych pojęć. Pierwszym z nich jest naszyjnik Antoine’a. Jak wygląda? Wyobraźmy sobie torus, w nim umieszczamy kilka torusów splecionych ze sobą, tworzących zamknięty łańcuch. Następnie w każdym z tych torusów zamieszczamy kolejny łańcuch splecionych ze sobą torusów… tak robimy w nieskończoność. Co otrzymamy jako część wspólną wszystkich tak utworzonych łańcuchów? zbiór punktów, które należą do każdego z „łańcuszków” tworzonych na poszczególnych etapach konstrukcji – i to właśnie jest ten naszyjnik!! na myśl mi przyszedł zbiór Cantora, którego konstrukcja jest tez niezwykle ciekawa. Najpierw rysujemy odcinek długości 1. Dzielimy narysowany odcinek na 3 równe części, a więc każdy z odcinków ma długość 1/3. Wyrzucamy środkową część, w związku z czym zostają nam 2 odcinki, każdy długości 1/3. Oba pozostawione odcinki dzielimy na 3 równe części, każda część ma długość 1/9. Wyrzucamy środkowe części. Zostały nam 4 odcinki, każdy długości 1/9. Postępujemy podobnie jak w poprzednich krokach. W k-tym kroku otrzymamy 2k odcinków, każdy długości 1/3k. Zbiór, który otrzymamy po nieskończenie wielu krokach nazywamy zbiorem właśnie Cantora. Znów nawiążę do pojęcia części wspólnych, gdyż tu w tym przypadku okaże się, że punktów części wspólnej tych wszystkich tak skonstruowanych obiektów jest bardzo wiele może nawet continuum? Tę część wspólną nazywa się właśnie zbiorem Cantora. Cóż jedno z drugim ma wspólnego? i tu jest właśnie cud łączenia kilku z pozoru obcych sobie rzeczy. Jeśli wpada się na to samemu – radość jest podwójna. Otóż naszyjnik Antoine’a to nietypowo umieszczony w przestrzeni zbiór Cantora. Wizualizując to sobie w wyobraźni, widać bardzo dokładnie, że zbiór Cantora jest „dziurawy” zaś naszyjnik Antoine’a jest na tyle „gęsty”, że pętelka okalająca wyjściowy torus nie da się zsunąć z naszyjnika, bo zawsze o niego zahaczy. To jest właśnie potęga wyobraźni, a odkrywać takie rzeczy samemu, ogromna , nieopisana radość.

Notatka luzem fruwająca.


Wyobraźnia i spora dawka fantazji jest niezmiernie ważna w matematyce. Jeśli matematyk zachował w sobie umysł dziecka – tym lepiej. Widziałam jakie są efekty dziecięcej fantazji i wyobraźni, niejeden dorosły mógłby brać przykład. Przewaga dorosłego nad dzieckiem jest taka, że dorosły, na podstawie swojego doświadczenia życiowego, posiada zdolność przewidywania skutków mniej szalonych pomysłów (tych najbardziej szalonych nie wprowadza w czyn, odrzuca je na starcie jako zbyt ryzykowne). To paradoks może ale czasem wydaje mi się, że ten całkiem „dorosły” umysł bardziej działa na szkodę. Czasem wydaje mi się, że nie warto do końca dorastać, nie patrzy się wówczas na wiele rzeczy oczami dziecka, a to bardzo ważne. To dorośli wymyślają standardy, do których należy się zastosować, często bez żadnej refleksji. To doświadczenie sprawia, że ludzie myślą schematycznie. Nie podoba mi się to. Myślę, że człowiek traktujący matematykę jako pasję musi unikać jak się tylko da bezwzględnej dorosłości, przyjmując matematykę jako używkę, czuć napięcie…. Widziałam jak wygląda uzależnienie od używek, adrenaliny…, widziałam zachowanie osób uzależnionych, zachowanie matematyka wygląda podobnie. Tzn. tak sobie myślę, wydaje mi się. Nie mogę siebie nazwać matematykiem, matematyka jest jedynie moją pasją ale wiem co to jest pisanie obliczeń na piasku, zbaczanie z trasy w wielkim zamyśleniu, parowanie dwóch różnych skarpet, ślęczenie po nocy…, wiem co oznacza życie w zupełnie innym świecie, w świecie fantazji i wyobraźni, w świecie, który w moim przypadku uznaję za zabawę…. {Swoją drogą widząc (zwłaszcza zimą) tyle brudnych samochodów, wiem co to znaczy gdy matematykowi odjeżdża tablica (mi także kiedyś odjechała)}…. a niestety ma to swoje konsekwencje w życiu „społecznym”. Stworzone w wyobraźni modele geometryczne czy topologiczne… aż czasem paluszki świerzbią by spróbować je wykonać. Oprócz wizji samego modeli, trzeba mieć też wizję z jakiego materiału będzie to wykonane. Na pomysł jaki to materiał ma być wpada się czasem zupełnie przypadkiem. Szukałam materiałów do zrobienia pewnego modelu a na pomysł materiału, którego mogłabym użyć wpadłam oglądając wystawę sklepu z breloczkami do kluczy. Nie interesował mnie sam breloczek a jedynie część, z którego został zrobiony, potrzebowałam całą masę takich części. Weszłam do sklepu z zapytaniem czy ową część można tu kupić. Jakże ucieszona byłam, że mogę ją dostać w prezencie. Sprzedawca dał mi jedną z i tak zadziwioną już twarzą jakby pytającą do czego będzie mi to potrzebne. Sprzedawca zrobił jeszcze bardziej zadziwioną minę gdy mu oświadczyłam, że przyjdę do niego po taką część jeszcze kilkadziesiąt razy. Zakupy innych przedmiotów też a zwłaszcza ich liczba mogą zaskakiwać, owszem, zwłaszcza gdy kupuje się 10 trzepaczek do jajek, zwłaszcza, że do tego wcale nie posłużą. Czasem elementy do budowy modelu leżą pod nogami – dosłownie, trzeba tylko mieć „oczy w garści”.  Pamiętam jak kiedyś o mało co nie zwinęłabym siatki budowlanej (takiej do ocieplania elewacji) z placu budowy, do pewnego modelu geometrycznego nadawała się fantastycznie. Za każdym razem spotykam się z zadziwieniem ze strony ludzi, którzy patrzą jak podnoszę z chodnika rzecz kompletnie ich zdaniem nieprzydatną. Zadziwienie ze strony ludzi jest po dużo większe gdy widzą kobietę – ładnie ubraną, w elegancki żakiet, stylowe buciki i nienagannie białą bluzkę – która podnosi ową powszechnie uznawaną rzecz za nieprzydatną w niedalekim pobliżu śmietnika (jeśli owa kobieta jeszcze coś do siebie gada to jest to jeszcze bardziej podejrzane). Proszę więc, jeśli kiedykolwiek zobaczycie taką osobę… po prostu proszę o zrozumienie.

Matematyka jest…


…wielkim małym światem w którym wszelakie jej pojęcia dobrze się znają.  Enigmatyczne stwierdzenie lecz nie pozbawione sensu…

Wiele razy wspominałam na blogu, że matematyka jest swego rodzaju monolitem z tego względu, że cała mnogość działów mieszczących się w niej zazębia się dość mocno. Nie jest też zadziwiające to, że z metod matematycznych korzysta cała masa innych dziedzin nauki, w tym statystyka i demografia (w obu tych dziedzinach matematyka zajmuje zaszczytne miejsce). Dziś pozostanę przy wzajemnym przenikaniu sfer wewnątrzmatematycznych. Będzie to mieszanina topologii (jej metod) z innymi zakamarkami matematyki.

Przechodząc już do rzeczy, metody topologiczne stosuje się w wielu rozważaniach matematycznych, począwszy od analizy, przez geometrię, równania różniczkowe, aż na algebrze skończywszy, gdyż dostarcza ona matematykom wspólnego języka umożliwiającego dość ogólne spojrzenie geometryczne na problemy.

Przykładem rozumowania topologicznego może być dowód twierdzenia o istnieniu funkcji ciągłej rzeczywistej, określonej na prostej rzeczywistej \mathbb {R} , która nie jest różniczkowalna w żadnym punkcie. Pierwszy, konkretny przykład takiej funkcji podał niemiecki matematyk Karl Weierstrass. Poszukiwanie kolejnych tego typu przykładów nastręczało wiele trudności, zastanawiano się nad ogólną formą i liczbą takich funkcji. Polski matematyk Stefan Banach przedstawił w 1931 topologiczny dowód istnienia takich funkcji:

Niech C[0,1] oznacza przestrzeń wszystkich funkcji ciągłych z odcinka [0,1] w zbiór liczb rzeczywistych. Przestrzeń C[0,1] można wyposażyć w topologię zbieżności jednostajnej poprzez metrykę

d(f, g) = \sup_{x \in [0,1]} |f(x)-g(x)|.

Wówczas C[0,1] jest przestrzenią polską (a nawet przestrzenią Banacha) w której zbiór

R=\big \{f\in C[0,1]\colon\, f ma pochodną w co najmniej jednym punkcie odcinka [0,1]{\big \))

jest pierwszej kategorii. Ponieważ przestrzeń C[0,1] jest zupełna (a więc jest przestrzenią Baire’a), to można powiedzieć, że z topologicznego punktu widzenia prawie każda funkcja ciągła nie jest różniczkowalna w żadnym punkcie.

Interesującym jest fakt, że dowód ten wykazuje istnienie funkcji nieróżniczkowalnych w żadnym punkcie, jednak nie wskazuje konkretnego przykładu takiej funkcji.

Pewien paradoks w badaniach statystycznych


Dziś – bez zbędnych wstępów, których nie chce mi się pisać bom leniwa  – przechodzę do rzeczy. A rzecz tyczy się pewnej iluzji z którą związek ma intuicja i „pierwsze wrażenie”.

Paradoks Berksona jest wynikiem intuicyjne pojmowanego prawdopodobieństwa i statystyki. Wyobraźmy sobie, że mamy dwa niezależne zdarzenia A i B. Z definicji niezależności, prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia A biorąc pod uwagę zajście zdarzenia  B jest takie samo jak prawdopodobieństwo zdarzenia A:
P (A | B) = P (A).
tj. wiedząc, że zdarzenie B miało miejsce ale nie daje nam to żadnych informacji na temat prawdopodobieństwa wystąpienia zdarzenia A.

Paradoks Berksona może być wykorzystany do wyjaśnienia stereotyp, że najbardziej przystojni mężczyźni są szarpnięcia i to najmilsi ludzie są brzydkie, zaproponowany przez Jordan Ellenberg w swojej książce How Not to Be Wrong.

Załóżmy na chwilę, że wygląd i uprzejmośćzmiennymi niezależnymi w populacji mężczyzn tak, że mężczyźni są losowo rozmieszczone na wykresie „wygląd-uprzejmość”

Handsome -przystojny
Nice – miły

Tak więc każdy mężczyzna jest punktem w tej płaszczyźnie. Każda kobieta chce na umówić się na randkę z  mężczyzną w prawym górnym rogu tego wykresu: czyli z człowiekiem, który jest jednocześnie przystojny i miły. Jednakże, jeśli facet jest draniem czasem, ona może wciąż chcieć umówić się z nim na randkę, jeśli on jest bardzo przystojny. Ponadto, jeśli facet jest bardzo miły, ona może wciąż może chcieć umówić się z nim na randkę jeśli nawet mężczyzna ma „braki” w kategoriiwygląd”.

Analizując zachowanie kobiety – wielu z najlepszych wyglądających facetów z którymi umówiłaby się ta kobieta na randkę nie jest aż tak miłych; wielu z najmilszych facetów,z którymi kobieta umówiłaby się na randkę nie mają aż tak pięknego wyglądu zewnętrznego. Ograniczając się do tego zestawu facetów, widzimy ujemną korelację pomiędzy wyglądem i uprzejmością, choć te dwie zmienne są niezależne w populacji! Jest to  paradoks Berksona, a teraz widać, że tak utworzona korelacja wynika ze stronniczego wyboru.
Możemy pójść o krok dalej: może faceci w samym prawym górnym rogu (czerwone punkty) tak miły i przystojny, że kobieta, którą „analizujemy” nie weźmie go pod uwagę jako kandydata na randkę, na rzecz tego który jest po prostu miły i przyzwoicie wyglądający.
 Wynika stąd wniosek, że możemy zobaczyć fałszywą korelację między zmiennymi w wyniku działania swego rodzaju selekcji zwanej „stronniczością”. Musimy dokładnie przemyśleć, czy nasze doświadczenia i strategie gromadzenia danych i wybór próbki danej populacji dadzą możliwość generowania wniosków na całą populację.

Paradoksem Berksona pochodzi od Joseph Berksona, który zwrócił uwagę na zjawisko „stronniczości” wyboru w badaniach z grupą kontrolną w celu identyfikacji czynników przyczynowych w odniesieniu do ryzyka wystąpienia danej  choroby. Jeżeli grupa kontrolna pochodzi z wewnątrz szpitala, ujemną korelację mogłyby powstać między choroby i czynniki ryzyka z powodu różnych dawek  w trakcie hospitalizacji między próbką kontrolną wszystkimi przypadkami.

Więcej na ten temat można przeczytać tu: Berkson, Joseph (June 1946). „Limitations of the Application of Fourfold Table Analysis to Hospital Data”. Biometrics Bulletin 2 (3): 47–53


Kolos na glinianych nogach


Dzisiejszy wpis będzie kontynuacją opisu ciekawych tworów matematycznych nierzadko niesprawiedliwie nazywanych patologiami. Wspomnę o wielkim twierdzeniu Fermata, które dziś nie jest jedynie odosobnioną ciekawostką, lecz tkwi w samym sercu nowoczesnej teorii liczb, choć wielu wybitnych matematyków unikało twierdzenia Fermata.  Podobno David Hilbert, zapytany, czemu nigdy się nim nie zajmował, stwierdził, że musiałby stracić trzy lata na opanowanie tego wszystkiego, co mogłoby być potrzebne, a on nie ma trzech lat do stracenia. Twierdzenie to poniekąd związane jest ze specyficznym rodzajem krzywych. O co konkretnie chodzi? W 1986 roku Gerhard Frey wykazał, że gdyby istniał kontrprzykład do twierdzenia Fermata, musiałaby istnieć pewna krzywa eliptyczna o szczególnych i niespotykanych własnościach. Krzywe eliptyczne to wykresy równania

y^2=x^3+ax^2+bx+c

Krzywe te mają wiele interesujących własności: można je wyrazić za pomocą tzw. funkcji eliptycznych (stąd nazwa), każda sieczna przecina je dokładnie w trzech punktach, co pozwala każdej parze punktów przyporządkować trzeci (można wprowadzić strukturę grupy). Krzywa Freya jest o tyle specyficzna, że o ile ona istnieje, to – pomijając brzydką nazwę „patologia” – możnaby ją nazwać bardzo dziwnym zwierzem, tak dziwnym, że aż nieprawdopodobnym. Co więcej w późniejszych dociekaniach związanych z tą krzywą sprawa zapętla się o hipotezę Taniyamy i twierdzeniem Wilesa. Kenneth Ribet  dowiódł, że jeśli hipoteza Taniyamy jest prawdziwa, to pociąga ona za sobą wielkie twierdzenie Fermata a krzywa Freya nie może istnieć. Jeśli zastosujemy do tej krzywej twierdzenie Wilesa okaże się spełnia ona tezę tego twierdzenia, z której wynika, że można ją sparametryzować przy użyciu funkcji modularnych. Z kolei Frey jednak udowodnił, że nie można.To kolos na glinianych nogach!!!

 

 

Matematyka jak nurt wody


Matematyka jest jak nurt wody […]. Zawiera oczywiście mnóstwo skomplikowanych teorii, ale logiczne zasady są proste. Tak samo jak woda spada z wysoka najkrótszym możliwym torem, matematyka płynie tylko jednym nurtem. Wystarczy, że się człowiek uważnie przyjrzy, a dostrzeże ten tor. Trzeba tylko dobrze się przyjrzeć. Nic nie musisz robić. Kiedy się skupisz i wytężysz wzrok, wszystko samo jasno ci się ukaże. Na tym szerokim świecie tylko matematyka jest dla mnie taka życzliwa.

Haruki Murakami

To mi nasuwa na myśl pewne spostrzeżenie. Otóż wielu uczniów chcąc przebrnąć przez matematykę w dość łatwy i nie wymagający wysiłku sposób uczy się jej jakby „na pamięć”. To paradoks, bo słowo „wysiłek” bardziej pasowałoby do ruchów łopatą przy skopywaniu działki, lub w chwili gdy kopie się transzeje. Matematyka „płynie” – wystarczy przyjrzeć się jej nurtowi. Wiele problemów w matematyce wymaga nieschematycznego pomyślunku co odrzuca uczenie się matematyki na pamięć. Sam tok rozumowania jest ważny by „dostrzec ten tor”. Jako przykład przytoczę pewne zadanie. W rozwiązaniu nie stosuje się skomplikowanych przekształceń i rachunków, wystarczy zaobserwować pewien „nurt”.

Zadanie brzmi:

Niech f:[0,1]–>R będzie funkcją ciągłą nigdzie monotoniczną. Pokazać, że zbiór argumentów, dla których f osiąga minimum lokalne, jest gęsty w [0,1]

Tok rozumowania:

Niech (a,b) będzie dowolnym przedziałem otwartym zawartym w [o,1]. Funkcja f nie jest monotoniczna na żadnym przedziale, więc istnieją a<p<q<r<b takie, że f(p)>f(q) i f(q)<f(r). Funkcja f jest też ciągła, więc przyjmuje najmniejszą wartość na przedziale [p,r]. Nie przyjmuje jej ani w p, ani w r, więc przyjmuje ją dla argumentu wewnątrz przedziału [p,r]. Ta wartość jest minimum lokalnym. Skoro w dowolnym przedziale otwartym zawartym w [0,1] istnieje argument, dla którego f osiąga minimum lokalne, to zbiór takich argumentów jest gęsty w [0,1].